| Предыдущая глава |
↓ Содержание ↓
↑ Свернуть ↑
| Следующая глава |
1.Понятие информации
В математике теория информации (математическая теория связи) — раздел прикладной математики, определяющий понятие информации, ее свойства и устанавливающий предельные соотношения для систем передачи данных. Основные разделы теории информации — кодирование источника (сжимающее кодирование) и канальное (помехоустойчивое) кодирование.
Информация не входит в число предметов исследования математики. Тем не менее слово "информация" употребляется в математических терминах "собственная информация" и "взаимная информация", относящихся к абстрактной (математической) части теории информации. Однако в математической теории понятие "информация" связано с исключительно абстрактными объектами — случайными величинами, в то время как в современной теории информации это понятие рассматривается значительно шире — как свойство материальных объектов.
Связь между этими двумя одинаковыми терминами несомненна. Именно математический аппарат случайных чисел использовал автор теории информации Клод Шеннон. Сам он подразумевает под термином "информация" нечто фундаментальное (нередуцируемое). В теории Шеннона интуитивно полагается, что информация имеет содержание. Информация уменьшает общую неопределенность и информационную энтропию. Количество информации доступно измерению. Однако он предостерегает исследователей от механического переноса понятий из его теории в другие области науки.
Собственная информация — статистическая функция дискретной случайной величины.
Для случайной величины X, имеющей конечное число значений:
(1.1)
собственная информация определяется как
(1.2).
Из данного определения видно, что понятие информации тесно связано с понятием "события" и его вероятностью. Отсюда можно сделать вывод, что наиболее близкими к теории информации, разделами физики будут теория относительности и квантовая механика.
В теории относительности любое событие — это всегда элементарное событие, которое можно однозначно идентифицировать с помощью четырех пространственно-временных координат (xi = ( t, x, y, z)), заданных в конкретной системе отсчета.
С математической точки зрения, в таком определении существует некоторое неудобство, связанное с тем, что координаты физических событий имеют разные единицы измерения по разным осям (метры и секунды). С другой стороны, данное неудобство легко устраняется путем умножения времени на размерную константу.
Чтобы определить такую константу, обратимся к понятию интервала в теории относительности:
S2= x2+ y2+z2 — c2 t2 (1.3).
В данном выражении мы видим несимметричность относительно времени. И избавиться от такой несимметричности можно, только введя перед временем комплексный множитель. Заменим время в данном выражении на комплексную величину:
(1.4),
где
(мнимая единица),
с — коэффициент имеющий размерность скорости (скорость света),
t — время,
и назовем данную величину метрическим временем. В итоге выражение интервала в новой системе измерения примет следующий вид:
S2= x2+ y2+z2+Т2 (1.5)
Замена обычного времени на метрическое является всего лишь математическим приемом и приведет к изменению вида известных физических законов. Основной проблемой при рассмотрении полученного пространства будет наличие комплексного множителя у таких привычных понятий, как время и скорость, что может затруднить интерпретацию получаемых результатов, но с математической точки зрения, мы всегда можем сделать обратное преобразование к привычному времени и перевести полученные результаты в пространство Минковского.
Исходя из этих соображений, при рассмотрении физических законов перейдем от привычного пространства Минковского к новому четырехмерному пространству, первые три координаты которого совпадают с привычным трехмерным пространством, а четвертая координата является метрическим временем, т.е. временем, имеющим размерность расстояния (Т). Для удобства в дальнейшем будем называть эту систему координат ТR-пространством.
Очень легко определить основные соотношения в ТR-пространстве, для чего достаточно во всех формулах поделить время на комплексный множитель ic. Для новых величин будем использовать индекс i, а координаты будем писать большими буквами X, Y, Z. Кроме того, величины скорости, импульса и энергии будем также отмечать индексом i.
Итак, мы определили пространство событий, которое поможет ввести понятие информации в физическое рассмотрение. Теперь осталось понять, как определяется вероятность различных событий в нашем пространстве. С точки зрения классической механики, понятие вероятности не имеет физического смысла, так как движение всех материальных тел предопределено законами взаимодействия и вероятность любого события либо равна единице, либо нулю. Такая ситуация возникла из-за того, что классическая механика строилась на основе рассмотрения материальных точек нулевого размера, у которых возможно определение координат с любой точностью. Причем оба этих допущения являются некоторой идеализацией реальной физической картины. Логично будет предположить, что отказ от таких предпосылок должен приблизить физическую теорию к реальности, хотя и существует риск значительного усложнения физической картины.
Исходя из вышеизложенных соображений, заменим понятие материальной точки на определение физического объекта, который определим как произвольную сущность, ограниченную в четырехмерном пространстве (имеющую конечные размеры по всем четырем осям, включая ось времени).
Данное определение выбрано как наиболее общее и под него попадают все известные материальные объекты.
Теперь приступим к рассмотрению простейшего объекта, состоящего из двух взаимодействующих частиц в нашем новом TR-пространстве.
На рисунке 1 изображена четырехмерная система отсчета, привязанная к объекту, находящемуся в начале координат. В данной системе представлен второй объект, состоящий из двух произвольно взаимодействующих частиц. Сплошной линией показана мировая линия взаимодействующих частиц (четырехмерная траектория). Для удобства восприятия не отображена третья пространственная координата, но подразумевается, что движение происходит по всем направлениям. Движение взаимодействующих частиц происходит внутри объема, ограниченного четырехмерной поверхностью, и данный объем имеет проекции на все оси системы отсчета
. Ключевым моментом в данной картинке является наличие размера объекта вдоль временной оси. В классической физике такой момент не подразумевался, и поэтому данный факт вызывает трудности восприятия. В дальнейшем мы покажем, что наличие размеров вдоль временной оси является обязательным для всех типов объектов, а пока, забегая вперед, только скажем, что данный размер равен периоду колебаний взаимодействующих частиц в пространстве.
Вероятность нахождения объекта в любой точке пространства будет равна отношению объема объекта к объему всего пространства.
(1.6),
где
— размеры объекта,
— полный четырехмерный объем рассматриваемого пространства.
В качестве полного объема пространства пока можно использовать любое очень большое число, например, объем видимой вселенной. В дальнейшем мы увидим, что при дифференцировании данный параметр исчезает и от него ничего не зависит.
Теперь можно использовать определение информации 1.2, чтобы определить количество информации о местоположении объекта, которое будет выражаться через логарифм вероятности нахождения объекта в некоторой точке пространства.
(1.7)
Полученное выражение имеет одно значение для всех точек пространства, которое зависит только от размеров объекта. При этом мы определили, что наш объект состоит из двух взаимодействующих частиц, и размерами объекта будет проекции расстояния между частицами на соответствующие оси. И в результате получается, что данная функция зависит от взаимного местоположения взаимодействующих частиц в различные моменты времени. Чтобы изучить поведение данной функции, найдем ее производную по времени:
(1.8),
где
— скорость изменения расстояния между частицами вдоль соответствующих осей. У данных скоростей мы используем индексы i, которые показывают, что производная берется по комплексному времени, а чтобы перейти к обычным скоростям, нужно использовать комплексный коэффициент ic.
(1.9)
Полученная нами функция 1.8 выражает скорость изменения информации о местоположении объекта, которая зависит от движения взаимодействующих частиц, составляющих объект.
В философском смысле сущность информации является базовой и достаточной для описания любых процессов. Если распространить такой взгляд на введенную нами физическую информацию, то можно предположить, что данная функция будет описывать поведение системы на основе данных о координатах и скоростях частиц, составляющих систему. Подобная функция используется в классической механике, и она называется лагранжианом системы. Исходя из данных соображений, проверим функцию 1.8 на совместимость с уравнением Лагранжа:
(1.10)
В данных уравнениях мы произвели переход к комплексному времени, в результате чего скорости в них также стали комплексными, что отмечено добавлением индекса i. Следует отметить, что уравнения Лагранжа полностью сохранили свой вид при таком преобразовании.
Вычислим частные производные по скоростям и продифференцируем их по времени.
(1.11)
Частные производные по координатам вычисляются следующим образом:
(1.12)
В результате получаем полное совпадение выражений 1.11 и 1.12, которое говорит о том, что скорость изменения информации можно использовать в качестве лагранжиана системы двух взаимодействующих частиц.
(1.13),
где k — размерный коэффициент, определяющий единицы измерения,
L — функция Лагранжа.
В свою очередь лагранжиан связан с определением функционала действия, на основе которого построена вся современная механика. При этом принцип наименьшего действия выражается следующей формулой:
(1.14).
Подставив в него скорость изменения информации, получим:
(1.15).
Данная формула определяет, что действие между двумя событиями совпадает с разностью информации между данными событиями. Получается, что введенное нами понятие физической информации совпадает с понятием действия, на основе которого сформулирован базовый принцип физики — принцип наименьшего действия.
Таким образом, мы можем сформулировать принцип наименьшего действия через функцию информации.
Каждая механическая система характеризуется потоками информации, скорость изменения информации является функцией координат объектов, составляющих систему, а также их производных по времени.
Движение системы между двумя точками происходит по той траектории, на которой изменение информации будет минимальным.
Подведем промежуточный итог наших рассуждений. Для того чтобы ввести понятие информации в физическую картину, нам пришлось изменить две базовых предпосылки классической механики. Во-первых, мы отказались от рассмотрения материальных точек из-за отсутствия у них пространственных размеров и перешли к рассмотрению объектов, ограниченных в пространстве. Кроме того, для получения изотропности четырехмерного пространства мы переопределили временную координату, умножив ее на размерную комплексную константу. На примере системы двух взаимодействующих частиц мы применили определение собственной информации из математической теории информации и получили функцию, зависящую от размеров системы. Рассмотрев производную данной функции, мы увидели, что она является лагранжианом системы и полностью описывает ее состояние. Кроме того, информация совпадает с функционалом действия и через нее красиво выражается базовый принцип механики — принцип наименьшего действия. Такие результаты позволяют с уверенностью утверждать, что полученная нами функция информации является базовой в физической картине и ее удобно использовать для описания широкого спектра физических явлений.
2. Механика с точки зрения потоков информации
Имея функцию Лагранжа для системы, мы можем определить энергию, импульс и законы движения. Так, например, частные производные лагранжиана по компонентам скорости будут являться соответствующими компонентами импульса:
(2.1)
Здесь также нужно отметить, что данные импульсы являются комплексными, так как производные берутся по комплексным скоростям. Если брать производные лагранжиана по обычным скоростям, то добавится множитель ic:
Энергию системы можно получить из лагранжиана, используя следующее выражение:
(2.2)
(2.3)
Теперь запишем отдельно выражения для компонент импульса и энергии в реальном времени:
(2.4)
Сразу бросается в глаза, что полученное выражение для энергии совпадает с формулой Планка
, если определить коэффициент k следующим образом:
(2.6).
И тогда в реальном пространстве получатся следующие выражения:
(2.7)
Переменная k играет роль постоянной Планка и определяет единицы измерения энергии и импульса, поэтому обозначим ее буквой
, использовав индекс i по аналогии с другими величинами. Кроме того, переопределим введенную нами функцию физической информации, умножив ее на данную константу, и также добавим к ней индекс i:
(2.8)
Для удобства приведем в одной таблице все рассмотренные нами величины в случаях пространства Минковского и TR-пространства.
Таблица 1
Теория относительности
В TR-пространстве
Взаимосвязь
Координаты x,y,z
Координаты X,Y,Z
совпадают
Время t
Время T
T=ict
Интервал
S2= x2+ y2+z2 — c2 t2
Или
S2= c2 t2-x2 — y2-z2
Интервал
S2= X2+ Y2+Z2+ T2
совпадают
Скорость
Vx=dx/dt, Vy=dy/dt, Vz=dz/dt
Vr2 =Vx2+ Vy2+ Vz2
Скорость
Vix=dX/dT, Viy=dY/dT, Viz=dZ/dT
Vir2 =Vix2+ Viy2+ Viz2
Vi2= — V2/c2
Vix=Vx/ic,Viy=Vy/ic,Viz=Vz/ic
Лагранжиан (физического объекта)
Лагранжиан (физического объекта)
Информация
Понятие информации не выражается функциями в пространстве Минковского
Энергия
Кинетическая:
Полная :
Проекционная:
Энергия
Кинетическая:
Полная:
Проекционная:
Импульс
P2 =Px2+Py2+Pz2
Импульс
Pi2 =Pix2+ Piy2+ Piz2
Pi2= — с2P2
Pix=iсPx
Piy=iсPy
Piz=iсPz
Данная таблица нам будет очень полезна при переходе рассмотрения между комплексным и метрическим временем.
Глядя на выражения 2.4 и 2.7, можно заметить, что энергия и импульс являются частными производными от информации по координатам и времени:
2.9
Глядя на эти формулы, можно выразить физический смысл энергии и импульса как проекции обратных размеров объекта на соответствующие оси.
Для того чтобы разобраться с импульсами, вернемся к рассмотрению нашего четырехмерного объекта, исключив из него информацию о движении взаимодействующих внутри него частиц. Тогда наш объект будет выглядеть как некоторая четырехмерная поверхность, изображенная на рисунке 2.
| Предыдущая глава |
↓ Содержание ↓
↑ Свернуть ↑
| Следующая глава |
