Атомная бомба

Эти перспективы впервые обнародовал немецкий физик Флюгге в 1940 году, чем весьма заинтересовал многих, понявших его.

Условия в плутониевой бомбе.

При энергии W = 20 кт ТЭ = 2*10^10 г * 1 ккал/г ≈ 10^21 эрг рост температуры заведомо позволяет считать вещество бомбы идеальным газом. Легко оценить максимальное давление: 3*P*V/2 = W, объем порядка 1 л, так что P = 6 * 10^17 СГС (или 6 * 10^11 атм). Температура T ≈ P/(C*k) = 6*10^17/(0,5 * 10^23 * 1,4 * 10^(−16)) = 8 * 10^10 К, если считать С как для исходного материала. Однако при этой температуре вещество практически полностью ионизуется, и энергия достается не только ядру, но и 94 электронам. Поэтому надо поделить примерно на 100. Заметная часть энергии и давления приходится на тепловое и рентгеновское излучение (более 80%), и реально температура составляет десятки миллионов градусов. Скорость звука Vz в этих условиях порядка (P / p)^0,5 ≈

1,73 * 10^8 см/с. Время разлета заряда R / Vz ≈ 3 * 10^(−8) сек для R=5,2 см.

Итак, основным параметром, определяющим возможность осуществления цепной реакции деления и изменение выделения энергии в ходе этой реакции, является эффективный коэффициент размножения нейтронов. В процессе взрыва атомной бомбы он изменяется в диапазоне v > k >0 . В диапазоне v > k >= 1 происходит СЦР.

Этот коэффициент зависит как от свойств делящихся ядер, таких как количество вторичных нейтронов, сечения реакций деления и захвата нейтронов, так и от внешних факторов, определяющих потери нейтронов вызванные их уходом за пределы массы делящегося вещества. Вероятность ухода нейтронов зависит от геометрической формы образца и увеличивается с увеличением площади его поверхности. Вероятность же захвата нейтрона пропорциональна концентрации ядер образца делящегося вещества и длине пути, который нейтрон проходит в образце, то есть плотности образца . Если взять образец делящегося вещества, имеющий форму шара, то при увеличении массы образца вероятность приводящего к делению захвата нейтрона растет быстрее, чем вероятность его ухода, что приводит к увеличению коэффициента размножения. Массу, при которой подобный образец достигает критического состояния (k=1), называют критической массой делящегося вещества. Для высокообогащенного (содержание изотопа 235 больше 80%) урана значение критической массы составляет около 52 кг, для чистого оружейного плутония — порядка 11 кг.

Критическая масса — минимальная масса образца делящегося вещества, обеспечивающая протекание самоподдерживающейся ядерной цепной реакции деления. Критическая масса тем меньше, чем меньше период полураспада деления и чем выше обогащение рабочего образца делящимся изотопом.

Напомним, что критическую массу могут образовывать только нечетные изотопы. Лишь 235U встречается в природе, а 239Pu и 233U — искусственные, они образуются в ядерном реакторе (в результате захвата нейтронов ядрами 238U и 232Th с двумя последующими в — распадами).

Расчет (оценочный) критической массы урана.

Прежде всего, определимся, какой должна быть геометрическая форма, чтобы минимизировать утечку нейтронов из образца делящегося вещества, критическую массу которого будем рассчитывать,. У какого тела должна быть минимальная площадь поверхности? У тела сферической формы. В дальнейшем, будем определять критическую массу шара.

Необходимым условием для осуществления цепной реакции является наличие достаточно большого количества делящегося вещества (например, урана), так как в образцах малых размеров большинство нейтронов пролетает сквозь образец, не попав ни в одно ядро. Самоподдерживающаяся цепная реакция ядерного взрыва возникает при превышении делящимся образцом некоторой критической массы, и соответственно некоторого критического размера. Попытаемся оценить ее величину. Пусть имеется образец вещества, способного к делению, например, уран-235, в который попадает нейтрон. Какова судьба нейтрона? Он либо вызовет деление, либо бесполезно поглотится веществом, либо, в процессе диффузии, выйдет через наружную поверхность. Важно установить, что будет на следующем этапе — уменьшится или увеличится число нейтронов в среднем, т.е. ослабнет или разовьется цепная реакция, т.е. будет ли система в подкритическом или в надкритическом (взрывном) состоянии. Так как вылет нейтронов регулируется размером (для шара — радиусом), то возникает понятие критического размера (и массы). Для развития взрыва размер должен быть больше критического. Критический размер делящейся системы можно оценить, если известна длина пробега деления для нейтронов в делящемся материале.

Сделаем выборку из таблицы экспериментальных данных по спектру энергии налетающих нейтронов и сечениям возможных реакций для групп быстрых нейтронов, делящих ядра:

Нуклид ! энергия n ! St ! Sf ! v ! Sa ! Sin ! Sen

1)Уран 235 |6,5-10,5Mev | 6,30 |1,75 |3,40 |0,02 |1,03 |3,50

2)Уран 235 |4,0-6,5 Mev | 7,40 |1,15 |3,04 |0,03 |1,92 |4,30

3)Уран 235 |2,5-4,0 Mev | 7,40 |1,25 |2,79 |0,04 |1,91 |4,50

4)Уран 235 |1,4-2,5 Mev | 7,00 |1,28 |2,63 |0,06 |1,76 |3,90

5)Уран 235 |0,8-1,4 Mev | 6,60 |1,25 |2,52 |0,12 |1,38 |3,85

6)Уран 235 |0,4-0,8 Mev | 7,40 |1,23 |2,46 |0,17 |1,20 |4,80

7)Уран 235 |0,2-0,4 Mev | 9,20 |1,41 |2,47 |0,25 |1,00 |6,54

8)Уран 235 |0,1-0,2 Mev | 11,2 |1,70 |2,45 |0,40 |0,60 |8,50

Критическая масса зависит от сечения реакции деления конкретного нуклида.

Покажем это на примере для урана 235. Для урана 235 имеем р = 18,9 г/куб.см, А = 235. Соответственно, C = 0,0484 *10^24. Длина пробега деления нейтрона есть единственная размерная величина, которая может послужить отправной точкой оценки критического размера. В любой физической теории используются методы подобия, которые, в свою очередь, строятся из безразмерных комбинаций размерных величин, характеристик системы и вещества. Таким безразмерным числом является отношение критического радиуса образца делящегося материала к длине пробега в нем нейтронов реакции деления. Учтём, что все ядерные реакции являются случайными событиями. Для восьми групп нейтронов, появление которых в результате деления в центре шара возможно с указанными энергиями, определим среднее сечение реакции деления и среднее число вторичных нейтронов. В результате получим Sf = 1,3775 барн , v = 2,72. Тогда длина пробега деления нейтрона равна L = 1/(0,0484*1,3775) = 14,999см. Примем, что деление произошло в центре шара. А это можно сделать, так как реакция деления изотропна и случайна во всех точках по всему объёму шара, также изотропны и случайны траектории движения вторичных нейтронов. В результате, математическое ожидание следующего деления при условии деления в любой точке шара равно математическому ожиданию следующего деления при условии деления в центре шара.

Тогда на расстоянии L от центра вызовут деления ядер 63% вторичных нейтронов этого деления или 2,72 * 0,63 = 1,7136. Исходя из принципа критичности ( к = 1 ) можем составить пропорцию 14,999 см  1.7136 ; Xсм  1.0 ; откуда Х = 8,7529 см = Rкр.

Общая формула для критического радиуса:

Rкр = (Lf)среднее / {(v)среднее * 0,63} =

1 / {C * (Sf)среднее * (v)среднее * 0,63} =

A / {Na * p * (Sf)среднее * (v)среднее * 0,63}. (2)

Критическая масса Mкр = 4/3*Pi*Rкр^3*р (3)

равна 53036 грамм. Вполне реальное значение для урана с высоким обогащением изотопом 235 при учёте деления только быстрыми нейтронами.

Но самое интересное получится, если допустить в реакцию деления верхнюю часть группы промежуточных нейтронов

9)Уран 235 |46,5-100Kev |12,5 |2,10 |2,44 !0,60 ! 0,18|9,62|

со значениями

9)Уран 235 !65,5-100Kev !........!1,90 !2,45 !.........!........!.......! .

Ввод верхней части группы промежуточных нейтронов(9) вполне обоснован значительным значением сечения реакции неупругого рассеяния и в том числе реакции удвоения нейтронов (n.2n) в группах энергий быстрых вторичных нейтронов таблицы сечений ядерных реакций (См. выборку). Соответственно велика вероятность этих реакций. В результате появляются нейтроны, попадающие, по энергии, в верхнюю часть девятой группы, и участвующие в делении ядер урана 235. Более полный учёт нейтронов спектра деления даёт более точный результат.

Тогда получим:

(Sf) среднее по 9-ти группам = 1,436 барна ,

длина пробега деления = 1/(0,0484*1,436) = 14,393 см,

среднее число вторичных нейтронов = 2,69,

среднее число делений на длину пробега деления = 1,695,

Критический радиус = 8,4926 см,

Критическая масса = 48 493 грамма!

Весьма близко к реальным значениям для урана с 90% обогащением изотопом 235.

В качестве дополнения можно привести выражение для критического радиуса сферы без отражателя в приближении более строгой одно — групповой диффузионной теории происходящего процесса:

Rkrit = {[Pi *A]/[p*Na*{3 *(k-1)*(бa+бf)*бs}^(1/2)]} — 0,71*A/(бs*p*Na) (4)

обозначения в котором:

Pi = 3,14159265

A = атомная масса материала в килограммах на моль, 235 для урана, 239 для плутония.

p = плотность материала в килограммах на кубометр, 18700, 15600.

Na= число Авогадро = 6,02*10^26 (кг*моль)^-1

k = число нейтронов выдаваемых ядром при реакции деления, 2.7 , 3.2 .

бa = сечение захвата(n, gamma) , барн 0.06, 0.04

бf = сечение деления, барн 1.28, 1.95

бs = сечение рассеяния нейтронов, барн 3.9, 8.5.

Цепная реакция возможна и при наличии меньшего количества делящегося вещества. Поскольку вероятность захвата нейтрона пропорциональна концентрации ядер, увеличение плотности образца делящегося вещества, например, в результате его сжатия, способно привести к возникновению в образце критического состояния. Именно этот способ и применяется в ядерных взрывных устройствах, в которых образец делящегося вещества, находящаяся в подкритическом состоянии переводится в надкритическое состояние с помощью направленного взрыва, подвергающего делящийся образец сильной степени быстрого сжатия. Критическую массу можно уменьшить примерно вдвое, окружив образец делящегося вещества слоем материала, отражающего нейтроны, увеличив их концентрацию в зоне деления за счёт уменьшения вылета за пределы делящегося вещества, Например, слой бериллия или природного урана. Для критической сферы без отражателя имеет место зависимость критической массы обратно-пропорциональная квадрату плотности (р) делящегося вещества. Это видно из выведенных ранее формул критического радиуса и критической массы (2) и (3). Обратная пропорциональность критической массы квадрату плотности (1/p^2) относится только к случаю системы без отражателя, и при условии небольшого разбавления делящегося материала неделящимися нуклидами. Оценим это:

Длина пробега деления Lf обратно пропорциональна плотности. Если сжать почти

критический шар, увеличив его плотность в два раза, то Lf, а с ней и Rkrit, уменьшатся

вдвое. Радиус же уменьшится только в 2^(1/3) и отношение R/Rkrit возрастет в 2^(2/3) ≈ 1,6 раза, а масса вчетверо превысит критическую массу для удвоенной плотности. Не так просто удвоить плотность материалов, которые уже относятся к наиболее плотным металлам. Примем для оценки менее напряженный вариант, когда масса после сжатия вдвое превосходит критическую. Легко проверить, что при этом надо увеличить плотность в 2^(1/2) раз, а отношение радиуса в сжатом состоянии к критическому радиусу в этом же состоянии R/Rkrit = 2^(1/3). Удобно ввести относительную избыточную толщину delta, обозначив R/Rc = 1 + delta, тогда при указанной степени сжатия delta = 0,26. 'Сжатый' радиус получается около 5 см для плутония.

В случае сжатия ударной волной сборки "делящийся материал + отражатель", критическая масса как функция объемного сжатия пропорциональна

1/{[(p_делящегося_материала)^(1,2)]*[(p_отражателя)^(0,8)]}. (5)

Минимальное количество делящегося вещества, необходимого для осуществления СЦР, зависит в основном от достижимой на практике степени сжатия образца этого вещества или скорости сближения частей образца. Степень и скорость сжатия образца делящегося вещества определяют не только количество расщепляющегося материала, необходимого для создания ЯВУ, но и энергию ядерного взрыва. Потому что, что в процессе не достаточно быстрого перевода образца делящегося вещества из менее чем критического в более чем критическое состояние возможна преждевременная детонация. Это тепловое разрушение образца и разлёт делящихся материалов из-за развившейся спонтанно возникшей СЦР, выделившаяся энергия которой приводит к быстрому разогреву образца до достижения им оптимальных плотности и размеров. Как, и в процессе взрыва, где, по той же причине через некоторое время делящийся образец переходит в менее чем критическое состояние и цепная реакция останавливается. Но при преждевременной детонации выделение энергии в делящемся образце в надкритическом состоянии минимальна. Вероятность спонтанного возникновения СЦР при недостаточно быстром сжатии весьма велика и растёт пропорционально времени. Если выделившаяся ядерная энергия сравнима с энергией взрывчатого вещества, то сжатие прекратится и начнется обратный процесс разлета. Это случится при числе поколений нейтронов СЦР t/T = 40 ч 45, соответствует энергии 2*10^8 джоулей эквивалентной выделяемой 50 килограммами тротила. При недостаточно быстром сжатии набор поколений может завершиться задолго до момента максимального сжатия, соответствующего наибольшему выделению энергии, произойдет 'хлопок' с уменьшением энергии в десятки и сотни раз по сравнению с оптимально возможным. Покажем это простым расчётом:

Пусть преждевременно, в самый момент перехода делящегося образца через критическое состояние, в нём появился один нейтрон. Размножение нейтронов будет происходить

уже на стадии сжатия (или дальнейшего сближения менее чем критических частей) делящегося образца, что приведет к остановке процесса и резкому ослаблению эффекта взрыва. Для сферической активной зоны, содержащей только делящееся вещество, например уран 235, эффективный коэффициент размножения нейтронов

K = Nu * (1 — P утечки),

где Р утечки — вероятность утечки нейтронов из активной зоны, Nu — среднее число вторичных нейтронов, вызывающих следующие деления ядер.

Запишем уравнение развития СЦР в виде:

dN/dt = (k-1)*N/T= (Nu -Nu*P утечки -1)*N/T .

Здесь N — число актов деления в бомбе, Р утечки — вероятность нейтрону потеряться, T — время жизни поколения нейтронов. В начале коэффициент в правой части уравнения вначале отрицателен, и размножения не происходит. Но по мере уменьшения зазора между полусферами или радиуса сферы делящегося вещества уменьшается вероятность потерь Р утечки(t), и этот коэффициент размножения нейтронов должен перейти через нуль и стать положительным. Если отсчитывать время от достижения критического состояния, то можно принять (Nu -Nu*P утечки -1) эквивалентным u*t/R, где u — характерная скорость сжатия, R — критический радиус. Тогда получим уравнение

dN/dt = u*t*N/T*R. (6)

Решение этого уравнения: