Ну, я попал!

— Поэтому математики условились не различать изоморфные структуры. Мы можем спокойно считать, что среди рациональных чисел есть целые, и писать a/1 = a, как будто дробь может равняться целому. Правильная запись a ↔ {a/1, 2a/2, 3a/3, …}, но это очень громоздко и неудобно.

— Итак, в цепочке 2/3+4/3 = (2×3+4×3)/(3×3) = 18/9 = 2/1 = 2 пер­вый знак равенства читается «есть по определению», второй — обычное поэлементное равенство упорядоченных пар, третий — эквивалентность при факторизации дробей в рациональное число, четвёртый — изоморфизм между рациональным числом и целым числом. Дополнительное осложнение — присутствует перегруженный знак деления. Неудивительно, что школьники путаются. Даже профессионалы во всём разобрались совсем недавно, ко второй половине двадцатого века.

— Кроме этих четырёх смыслов знака равенства и перегрузки знака деления, есть ещё факторы, способствующие дезориентации школьника. Как вам запись 39/4 = 9¾? Теперь вы понимаете, что это значит: 39/4 = 9/1+3/4 = 9+¾ с опущенным знаком плюс, причём в цепочке второй знак равенства частично изображает изоморфизм. А ведь школьники начинают изучение дробей прямо с этого! А пропорции — частный случай дробей? А проценты — зачем-то выделенные дроби со знаменателем 100, причём числитель может оказаться не целым? А десятичные дроби? В любой школе мира всё это сваливают на школьников огромной бесформенной и бессмысленной кучей, и попробуй разберись! Именно поэтому я уверен, что интерес учащихся к математике или нумерологии для огромного большинства кончается именно на дробях.

— Почему так получилось? Человечество работает с делением и дробями уже несколько тысяч лет! Все приёмы просто зубрили. Не так уж давно деление в столбик изучали на последних курсах университета. А для практики придумывали всякие фокусы. Кто-то облегчил себе жизнь, придумав пропорции. Кто-то придумал проценты. И всё это влетело в школьную программу, причём без чёткого понимания основ. Так оно испокон веков и тянется.

— Вопросы? В пятой части занятия я расскажу, почему дроби не являются числами — то есть, какие новые свойства появляются у рациональных чисел по сравнению с дробями. Ещё вопросы? Перерыв на кофе!

— Уравнения и операции с буквами, которые учат в школе — это элементарная алгебра. Нам же придётся привлечь высшие разделы алгебры. Не пугайтесь слова «высшие». Я действительно не понимаю, почему это нельзя объяснять в вашем возрасте. Можно! Я много раз пробовал, и это очень помогало достичь полной ясности. Вам тоже поможет.

— Пусть есть множество, на котором определена бинарная операция. Например, целые числа, включая положительные, ноль и отрицательные, и сложение. Важные слова здесь — предлог «на» и «бинарная». Бинарная — два операнда. В нашем примере сложение определено для двух целых чисел. «На» — операция определена для любых двух элементов множества, и результат есть элемент того же множества. В нашем примере — мы умеем складывать любые два целых числа, и результат будет целым числом.

— У этой операции должны быть некоторые свойства. Их всего три. Первое обязательное свойство — ассоциативность. В буквенных обозначениях (a+b)+c = a+(b+c). a, b и c — элементы множества. Напоминаю — операция бинарная, поэтому мы обязаны писать скобки. Но после того, как появилась ассоциативность, скобки можно опускать. Для сложения целых чисел вы это свойство знаете, верно?

— Второе обязательное свойство — есть нейтральный элемент. При операции с нейтральным элементом результат совпадает с другим операндом. В примере с целыми числами нейтральный элемент — это ноль: a+0=a.

— Третье обязательное свойство — операция обратима. В примере с целыми числами уравнение x+a=b, где x — неизвестное, a и b — известные элементы множества, всегда имеет решение x=b−a. a и b могут быть любыми целыми, и найденный x — целое.

— Множество с такой операцией на нём называется группой. Говорят, что целые числа образуют группу по сложению. Подчеркну: для групповой операции обязательны только эти три свойства. Мисс Лавгуд?

— Сложение целых чисел имеет ещё свойство коммутативности: a+b=b+a.

— Один балл Слизерину. В теории групп коммутативность не обязательна. Математики и нумерологи с большим успехом изучают и используют некоммутативные группы. Пример некоммутативной операции: сцепление строк. Скажем, «кисло» * «род» = «кислород». Я обозначил операцию сцепления звёздочкой. Коммутативности нет: «род» * «кисло» = «родкисло». Нейтральный элемент — «», пустая строка. Первая и простейшая теорема о некоммутативных группах — левый нейтральный элемент равен правому. Достаточно рассмотреть произведение левого нейтрального элемента на правый — оно равно и тому, и другому.

— А вот с обратимостью у сцепления строк плохо. Обратимость есть не всегда. Например, если «кисло» * x = «кислород», отрезаем от «кислород» пять букв слева и получаем x = «род». Соответственно для x * «кисло» = «прокисло» отрезаем пять букв справа, x = «про». Однако уравнение «муха» * x = «таракан» не имеет решения, а в группе обязано, иначе это не группа.

— Тем не менее со строками и операцией сцепления можно построить пример некоммутативной группы. Возьмём алфавит из двух букв f и r. Пустую строку будем обозначать 1, и примем три дополнительных правила: f 2=1, r3=1, rf=fr2. Надеюсь, вы понимаете, что запись f 2 — это две буквы f подряд, или строка “ff”. Первое правило значит, что если вы написали длинную строку, и в ней есть две буквы f подряд, их можно заменить на пустую строку, то есть, убрать.

— Первые два правила позволяют урезать длинные последовательности одинаковых букв до одной или двух. Третье правило позволяет переставить букву f вперёд. Получается, что строку любой длины с любым чередованием букв можно привести к одному из шести вариантов: 1, f, fr, fr2, r, r2. Для этого надо с помощью третьего правила загнать все f в начало строки, по ходу дела сокращая длинные цепочки одинаковых букв. Например, r2f = rfr2 = fr2r2 = fr4 = fr.

— Для конечного числа элементов проще всего расписать таблицу умножения, что мы и сделаем. Сразу будем упрощать строки, например, frf = ffr2 = r2.

— Мы видим, что в каждой строке и в каждом столбце есть ровно одна 1. Это значит, что у каждого элемента есть правый и левый обратный, то есть, уравнения x*a=b и a*x=b решаются умножением на соответствующий обратный.

— Эта группа из шести элементов на самом деле минимальная. Некоммутативных групп меньше чем с шестью элементами не бывает. Она же единственная — других некоммутативных групп с шестью элементами нет. Больше о некоммутативном случае говорить не будем, это нам не понадобится.

— Пример очень неочевидный, но… в принципе эти свойства такие простые! Что там изучать?

— Разработку теории групп начал французский математик Эварист Галуа в 1830-х годах. Пока работы хватает. Именно теория групп, притом в самом начальном разделе, содержит самую сложную теорему математики. Её доказывают сотни математиков по частям, начиная с 1955 года. Уже сорок лет. Доказательство никогда не было напечатано в одной книге, а разбросано по многочисленным статьям объёмом более пятидесяти тысяч страниц. В такой ситуации в доказательстве до сих пор находят ошибки и пропуски, но их успешно устраняют. Надеются лет через десять-пятнадцать закончить. 36 Хороший вопрос, мистер Криви, один балл Гриффиндору!

— На множестве целых чисел определено не только сложение, но и умножение. Вопрос: является ли группой множество целых чисел с операцией умножения? Как там с этими тремя свойствами? Я хотел бы услышать кого-нибудь не с Рейвенкло или кого-то из гостей. О, мистер Диггори с Хафлпаффа! Рад видеть, что чемпион Хогвартса увлекается нумерологией.

— Умножение целых чисел имеет свойство ассоциативности. Нейтральный элемент тоже есть, это единица. А вот обратимости нет: в группе по умножению надо делить любое число на любое другое, а на ноль делить нельзя. Даже без нуля во многих парах целых чисел деление невыполнимо, потому что результат не целый.

— Коротко и ясно, я бы сказал — в американском стиле. Благодарю вас. Пять баллов для Хафлпаффа.

— Итак, умножение целых чисел не даёт группу. Но мы знаем один закон, который связывает сложение и умножение. Это дистрибутивность: a×(b+c) = a×b+a×c. Так вот, пусть есть множество и на нём две операции. Обязательное требование: одна из операций порождает на этом множестве коммутативную группу. Четыре закона первой операции: ассоциативность, нейтральный элемент, обратимость и, дополнительно, коммутативность. Эта операция всегда называется сложением и традиционно обозначается привычным знаком «+», а её нейтральный элемент всегда обозначают «0». Оставшаяся операция всегда называется умножением и обозначается «×». От умножения требуются только три свойства. Ассоциативность: (a×b)×c = a×(b×c). Левая дистрибутивность: a×(b+c) = a×b+a×c. Правая дистрибутивность: (b+c)×a = b×a+c×a. Кто подскажет, почему я различаю левую и правую дистрибутивность? Приятно услышать чемпиона Дурмстранга. Мистер Крам?

— Умножение не обязательно коммутативное.

— Совершенно верно. И нейтральный элемент умножения не обязателен. Система из множества и двух таких операций на нём называется кольцом. Если у умножения есть нейтральный элемент, он обозначается «1», и кольцо называется кольцом с единицей. Если умножение коммутативно, кольцо называется коммутативным кольцом. Что можно сказать про наш пример — целые числа? Мистер Криви?

— Целые числа с операциями сложения и умножения являются коммутативным кольцом с единицей.

— Верно, и два балла Гриффиндору! Если нужен пример кольца без единицы, возьмите только чётные целые числа с обычными операциями. Сумма, разность и произведение чётных целых чисел остаются чётными. Это кольцо по отношению к кольцу всех целых чисел является подкольцом.

— Добавляя дополнительные свойства операций, получают многочисленные разновидности колец, которые изучают в математике. Нам это опять-таки не важно, но один пример кольца с дополнительным свойством я приведу. Элементами множества пусть будут целые числа от ноля до девяти. Операции сложения и умножения определены так: выполняем обычное сложение или умножение и берём последнюю цифру результата. Можно сказать иначе: берём остаток от деления обычного результата на десять. Вообще-то для конечного множества можно просто задать таблицу сложения и таблицу умножения.

Я вывесил иллюзию таблиц.

— Вы видите, что в нашем кольце, например, 4×8=2, а 7+9=6. Вопрос: будет ли эта система из десяти чисел и определённых этими таблицами операций кольцом? Будет ли это кольцо коммутативным? Будет ли оно кольцом с единицей?

— Да, да и да! Это можно проверить, рассмотрев все возможные случаи, но это нудная работа. Понять же можно так: возьмём любой закон, выполнимый для целых, любые числа и проверим этот закон, записав операции. Например, дистрибутивность: 5×(2+7) = 5×9 = 45 и 5×2+5×7 = 10+35 = 45.

Я изобразил соответствующие вычисления на стене.

— Это верно для обычных целых. Оставим от этих вычислений только последние цифры: 5×(2+7) = 5×9 = 5 и 5×2+5×7 = 0+5 = 5. Закон проверен для этих чисел в нашей новой системе. Можно просто перебрать все варианты. Или придумать доказательство. Так что не сомневайтесь — это тоже коммутативное кольцо с единицей. Вопрос только с вычитанием. Что такое, например, 1−5? Я объяснял это, когда говорил о группах. x=1−5 есть решение уравнения x+5=1. Смотрим в таблицу сложения нашего кольца и видим, что x=6, так как 6+5=1. Получается, что нам не нужны отрицательные числа, потому что 6+4=0. Следовательно, 6=0−4=−4. Намекну: второй знак равенства перегружен.

— Если считать в этом кольце в обратном порядке: 9, 8, 7 и так далее, то мы дойдём до 0, а дальше должна идти —1. Но у нас —1 = 0—1 = 9. И 9+1 = 0. Получается, что элементы этого кольца циклически повторяются: после 9 идёт 0, а перед 0 стоит 9.

— Это новое кольцо имеет одно интересное свойство, которого нет в кольце целых чисел. Для целых чисел, если перемножить два ненулевых сомножителя, результат тоже будет ненулевой. Или, иначе, если результат умножения ноль, то обязательно один из сомножителей равен нулю.

— Это используется при решении уравнений в целых числах. Пусть (x−1)×(x−2) = 0. Если первый сомножитель равен нулю, получаем x=1. Если второй сомножитель равен нулю, x=2. В кольце целых чисел уравнение имеет два решения.

— А теперь внимательно смотрим на таблицу умножения в нашем кольце чисел от 0 до 9. Мы видим, что произведение 0 можно получить, даже если оба сомножителя не равны нулю. Это получается при умножении любого чётного числа на 5. Такое кольцо называется кольцом с делителями нуля. В кольце с делителями нуля у уравнений появляются дополнительные решения. Например, при x=6, (6−1)×(6−2) = 5×4 = 0. На досуге попробуйте найти все решения. Всего-то надо проверить десять случаев, и три решения мы уже знаем. Мисс Лавгуд?

— Разность между сомножителями равна 1. Поэтому, если один из них равен 5, то второй обязательно чётный, и произведение есть 0. Следовательно, новые решения — 6 и 7. Всего решений в этом кольце четыре.

— Совершенно верно, пять баллов Слизерину! Как видите, включаем ум, и перебирать варианты не надо. Пока с кольцами всё.

— Теперь возьмём коммутативное кольцо с единицей и добавим ещё одно требование: всегда возможно деление, кроме деления на ноль. То есть, уравнение a×x=b, где a≠0, всегда имеет решение из данного множества. Иначе можно сказать, что элементы множества без нуля образуют коммутативную группу по умножению.

— Такая система из множества и двух операций на нём называется полем. Простейшее поле — это ранее построенная нами структура из операций сложения и умножения над множеством {0,1}. Рациональные числа тоже являются полем.