Ну, я попал!

— Итак, 2/3-2/3 = (2×3-2×3)/(3×3) = (6-6)/9 = 0/9. Получили дробь с числителем 0. А теперь вычтем 18/9—2/1 = (18×1—2×9)/(9×1) = (18—18)/9 = 0/9. Тоже числитель 0. Мало того, 2/3—2/3 = 0/9 = 18/9—2/1, и все эти равенства — настоящие. С каждой стороны знака равенства стоит один и тот же математический объект — дробь 0/9, она же упорядоченная пара (0,9). Вот на этом основании мы можем считать, что имеем право сокращать дроби и писать, что 18/9 = 2/1 — потому что разность этих неравных с первого взгляда дробей равна разности двух других, равных дробей.

— Дальше такого объяснения в школах не заходят. Но даже такое куцее обоснование в школе дают очень редко. Просто говорят, что дробь можно сокращать и писать при этом знак равенства. И на этом ваше математическое образование останавливается. Потому что вам говорят неправду — так обращаться со знаком равенства нельзя! А как можно, я расскажу в четвёртой части этого урока.

— Осталось четвёртое равенство 2/1 = 2. Если рассматривать его вне связи с дробями, его можно считать обычным. Кто-то может подсказать, как? Мистер Кри­ви?

— 2 делить на 1 равно 2.

— Совершенно верно. Косая черта перегружена. Если её считать не обозначением дроби, а делением — мы имеем обычное равенство. А если считать 2/1 дробью, тут сложнее. Упорядоченная пара целых чисел (2,1) и целое число 2 — разные объекты. Пара состоит из двух чисел. Как два числа могут равняться одному? Никак.

— В школе в этот момент говорят, что знаменатель 1 можно отбросить и употребить знак равенства. Но это не будет настоящее математическое равенство, и на самом деле так поступать нельзя. Попробуем высосать из пальца хоть какое-то обоснование.

— Напишем очевидное и правильное равенство: (2/1)×(1/1) — (1/1+1/1) = 0/1. А теперь вспомним школьное определение умножения целых чисел. Умножение целых есть сокращённая запись сложения. То есть, вместо 5+5+5 пишем 3×5. Когда мы решаем уравнения, то поступаем так с буквами: вместо x+x пишем 2×x или даже 2x. А почему бы не поступить так с дробями? Вместо 1/1+1/1 напишем 2×(1/1).

— Заметьте: мы к разным объектам приделываем числовой коэффициент. Так можно делать, и эта идея даже приводит к очень глубоким математическим теориям. Но вернёмся к нашему равенству.

— Итак, 0/1 = (2/1)×(1/1) — (1/1+1/1) = (2/1)×(1/1) — 2×(1/1) = (2/1—2)×(1/1). Любая дробь, умноженная на 1/1, равна себе. Оказывается, 2/1—2 = 0/1, то есть, 2/1—0/1=2, или 2/1=2. Большего вам в школе не объяснят. И, к сожалению, это объяснение неверно. Мы не определили строго разность между дробью и целым числом, а считали по аналогии. По аналогии в математике рассуждать опасно, и тому есть масса примеров.

— Мы пришли к точке, на которой вас бросают в школе. Многие просто зазубривают правила и бездумно по ним считают. Так жить тоже можно. Но интуиция подсказывает вам: вас надурили, так жить нельзя. Вот это противоречие между скрытой от вас истиной и преподанной вам ложью подсознательно не даёт вам покоя и отторгает вас от математики. Школьники в большинстве своём ломаются на дробях, перестают понимать математику и даже начинают её ненавидеть.

— Вопросы по третьей части? Почему в школах так учат? Краткий ответ — так исторически сложилось. Об этом поговорим в своё время. Ещё вопросы? Почему не определить недостающую нам разность дроби и целого и не построить на этом верную теорию? Можно, но не нужно. Такое определение годится только для конкретного случая. На этом пути вам придётся определять сотни операций для всех возможных типов операндов. А я покажу вам общий метод, единый для всех случаев. Ещё вопросы? Перерыв на кофе.

— У нас два неясных вопроса: как понимать знак равенства при сокращении дробей, и как понимать вроде бы невозможное равенство между дробью и целым числом.

— Чтобы разъяснить первый вопрос, нам понадобится технический приём, который называется факторизацией. Это разбиение множества на подмножества с помощью отношения эквивалентности. Мы придумываем какое-то свойство двух элементов множества. Если они ему удовлетворяют, они эквивалентны. Единственное требование — транзитивность. Если a эквивалентно b, и b эквивалентно c, то a должно быть эквивалентно c.

— Эквивалентность путают с равенством, потому что единственным используемым свойством равенства тоже является транзитивность. Если a=b и b=c, то a=c. Равенство есть математический факт — мы имеем слева и справа один и тот же математический объект. 1+1=2. Сумма слева есть 2, и получаем 2=2. Эквивалентность мы определяем произвольно, лишь бы соблюсти свойство транзитивности.

— Если на множестве есть отношение эквивалентности, оно распадается на классы эквивалентности. Класс эквивалентности — это подмножество всех попарно эквивалентных элементов множества. Из-за транзитивности такое разбиение однозначно.

— Возьмём множество целых чисел. Объявим, что два целых числа эквивалентны, если их разность чётная. Прежде всего проверим транзитивность. Пусть a—b и b—c чётные. Тогда a—c = (a—b)+(b—c) будет чётным как сумма двух чётных чисел. Транзитивность имеет место.

— Это отношение эквивалентности факторизует множество всех целых чисел на два подмножества или класса эквивалентности. В одном будут все чётные числа, в другом — все нечётные. То есть, по нашему определению эквивалентности, все чётные числа попарно эквивалентны, все нечётные — тоже, и ни одно чётное число не эквивалентно никакому нечётному. Обозначим первое подмножество буквой e, а второе — буквой o. 35

— А теперь начнём обращаться с этими подмножествами, как с числами. Будем выполнять над ними арифметические действия. Сложение определяем так: если надо сложить два класса эквивалентности, берём из них по одному элементу-представителю и складываем их как целые числа. Результат есть тот класс, в который попал результат сложения. Если отношение эквивалентности выбрано удачно, результат не будет зависеть от выбора представителей.

— Попробуем найти e+e. Множество e = {…, —4, —2, 0, 2, 4, 6, 8, …}. Произвольно выбираем представителей —18 и 30. Складываем. Результат 12 попадает в множество e. Каких бы представителей мы не взяли, они будут чётными, и их сумма тоже будет чётной, то есть, принадлежать множеству e независимо от выбора представителей. Поэтому e+e = e. Нетрудно видеть, что e+o = o, o+e = o, и o+o = e.

— Наше определение эквивалентности удачное: оно позволило нам индуцировать на фактор-множестве {e,o} операцию сложения. Мы даже получили полную таблицу сложения. Действуя точно так же, мы определим на этом множестве индуцированную операцию умножения. Легко получить и полную таблицу умножения: e×e =e, e×o = e, o×e = e, и o×o = o. Мисс Лавгуд?

— Не слишком ли это сложно? Вы определили эквивалентность, выполнили факторизацию, индуцировали операции на полученном множестве. Но ведь равенство e+o = o — это просто другой и очень запутанный способ сказать, что сумма чётного и нечётного числа есть нечётное число.

— «Сумма чётного и нечётного числа нечётна» — это всего лишь слова, и что с ними делать? Я показал способ преобразовать эту расплывчатую словесную формулировку в точную формулу, с которой можно серьёзно работать. Если говорить о дробях, «сократи дробь, поставь знак равенства и ни о чём не думай» — это просто болтовня. Но вот мы прямо сейчас возьмём множество дробей, факторизуем его с подходящим определением эквивалентности — и вместо болтовни увидим некий смысл, да ещё выраженный формулами. Мисс Лавгуд, вы уже можете сказать, какое будет определение эквивалентности для дробей?

— Это очевидно — две дроби эквивалентны, если они сокращаются до одной и той же дроби.

— А когда мы пишем 18/9 = 2/1, каким смыслом мы перегружаем знак равенства?

— В этом случае знак равенства выражает эквивалентность при факторизации дробей.

— Великолепно, мисс Лавгуд! Имею ли я право начислить двадцать баллов дому Слизерин? Ага, имею, — в песочные часы Слизерина посыпались изумруды. — Тогда ещё два балла Слизерину за ранее сделанные мисс Лавгуд замечания, и три балла Гриффиндору. Мистер Криви дал неверный ответ и получает не пять, а только три балла — за отважную демонстрацию типичной ошибки. И ещё один балл Гриффиндору за разъяснение мистера Криви по перегрузке знака деления.

— В математике дроби не являются числами. Мы можем делать с ними вычисления, но у системы из дробей и операций над ними нет всех тех свойств, которые математики ждут от чисел. Дроби в вычислениях только представляют рациональные числа.

— Рациональное число — это бесконечное множество дробей, которые сокращаются до одной и той же несократимой дроби. Например, {−1/3, −2/6, −3/9,…} — это рациональное число. Вот ещё одно: {2/1, 4/2, 6/3,… , 18/9, 20/10,…}.

— Чтобы сложить два рациональных числа, из каждого берут по эле­мен­ту-пред­ста­ви­те­лю. Эти дроби скла­ды­ва­ют. Смотрят, в какое рациональное число попал результат. Это рациональное чис­ло по определению и будет суммой. То же самое со всеми остальными опе­ра­ци­я­ми.

— Как уже говорилось, мы должны быть уверенными, что результат операции не зависит от выбора представителей, то есть, что мы всегда попадём в одно и то же рациональное число. Это легко проверяется. Например, для сложения. Пусть a/b и c/d — несократимые дроби, а m и n — натуральные числа, то есть, целые больше 0. Тогда (ma/mb)+(nc/nd) = (ma×nd+mc×nb)/(mb×nd) = (mn(a×d+c×b)/(mn(b×d)) = (a×d+c×b)/(b×d). Последняя дробь может оказаться сократимой, как в нашем примере 2/3+4/3, но она всегда одна и та же при любых m и n. В этой цепочке из трёх равенств первое — определение сложения дробей, второе — обычное равенство, третье — эквивалентность дробей при факторизации. 18/9 = 2/1 есть сокращённая запись равенства двух рациональных чисел. Мы должны были бы записать что-то вроде {2/1, 4/2, 6/3,… , 18/9, 20/10,…} = {2/1, 4/2, 6/3,… , 18/9, 20/10,…}. Но мы не можем писать бесконечные формулы. Мы просто написали справа и слева от знака равенства какие-то два представителя этого рационального числа.

— У рациональных чисел с такими операциями присутствуют все нужные для чисел свойства. Пока поверьте мне на слово, объяснение будет в пятой части занятия.

— Что мы проделали уже два раза? Мы имели множество объектов и математическую структуру над ни­ми. Мы сгруппировали эти объекты в подмножества по какому-то критерию и попробовали перенести на полученные подмножества эту структуру. По принципу: берём на роль представителей подмножеств любые их элементы и смотрим, чтобы в результате наложения структуры мы всегда попадали в одни и те же подмножества. Если критерий разбиения на подмножества подобран правильно, это удаётся. Мы получаем новую, ин­ду­ци­ро­ван­ную структуру уже над подмножествами множества прежних объектов.

— Этот типовой приём называется факторизацией, а кри­те­рий группировки — эквивалентностью. То, что получается при удаче, называется фак­тор-струк­ту­рой.

— Итак, третий смысл знака равенства дробей — эквивалентность при фак­то­ри­за­ции их в рациональные числа. Две дроби эквивалентны, если они сокращаются до од­ной и той же дроби.

— Четвёртое равенство 2/1 = 2, если считать 2/1 дробью, кажется невозможным. Упорядоченная пара целых чисел и целое число — разные объекты. О равенстве и речи быть не может. Но и на такой печальный случай у математиков есть типовое решение. Называется оно «изоморфизм».

— Возьмём множество из двух целых чисел {0,1}. На этом множестве определим операции сложения и умножения. Множество конечное, так что просто зададим таблицы. Таблица сложения: 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1, 1+1 = 0. Складываем и берём остаток от деления на 2. Таблица умножения: 0×0 = 0, 0×1 = 0, 1×0 = 0, 1×1 = 1. Тут просто умножение.

— Теперь возьмём ранее построенную нами математическую структуру: факторизацию целых чисел на чётные и нечётные {e,o} с операциями сложения и умножения. Между элементами множеств {e,o} и {0,1} установим взаимно-однозначное соответствие: e↔0, o↔1. А теперь посмотрим, что при этом взаимно-однозначном соответствии происходит с операциями. Например, возьмём e×o = e и заменим e на 0, а o на 1. Получим 0×1 = 0. Верное равенство из одной математической структуры превратилось в верное равенство из другой математической структуры. И так будет для всех равенств в наших таблицах сложения и умножения. Оказывается, наше взаимно-однозначное соответствие ещё и сохраняет операции! Такое взаимно-однозначное соответствие множеств, при котором сохраняются построенные на них математические структуры, называется изоморфизмом.

— Среди всех рациональных чисел выделим те, у входящих в которые дробей есть знаменатель 1. То есть, вида {a/1, 2a/2, 3a/3,…}, где a — лю­бое целое число. Это подмножество замкнуто относительно сложения и умножения: (a/1)+(b/1) = (a+b)/1; (a/1)×(b/1) = (a×b)/1. То есть, при сложении и умножении мы остаёмся в том же подмножестве рациональных чисел.

— Установим вза­им­но-од­но­знач­ное соответствие a↔{a/1, 2a/2, 3a/3, …}. Это взаимно-однозначное соответствие сохраняет операции. a+b↔{(a+b)/1, 2(a+b)/2, 3(a+b)/3, …}, и то же самое с умножением.

— Мы получили подмножество рациональных чисел, которое не просто взаимно-однозначно отображается на целые числа, но отображается с наложенной на целые числа математической структурой.

— Две изоморфные структуры невозможно отличить друг от друга внут­рен­ними средствами. То есть, нельзя проделать правильное вычисление с целыми чис­ла­ми, которое было бы неправильным для изоморфной им части рациональных чисел. Просто пририсуем к каждому целому знаменатель 1. Операции со­хра­ня­ют­ся, результаты отображаются в результаты. Наоборот, если мы доказали теорему про изоморфное целым числам подмножество рациональных чисел, в котором использовали только их — эта теорема будет верна и для целых чисел. Надо во всём доказательстве стереть знаменатели 1.