Ну, я попал!

— Как положено у приличных людей на таких мероприятиях, в перерыве будет накрыт стол с соками, чаем, кофе и выпечкой. Перерыв на кофе пятнадцать минут. Представим себе, что у нас настоящая научная конференция. Или семинар.

— Вторая часть — о трудностях при работе с буквами вместо чисел. Уравнения. Алгебра. Причину этого я не назову простой, но хорошее объяснение очень помогает. Я это умею. Проверено. Эта часть будет чуть длиннее. После неё — перерыв на кофе. Пятнадцать минут.

— Третья, четвёртая и пятая часть — о трудностях с дробями. Все эти числители-знаменатели. Причина тут простейшая, как со знаком минус, но объяснение намного сложнее. Поэтому эта тема поставлена в конец и излагается в три приёма. После этого наступит время обеда, на котором на десерт будет мороженое.

— После обеда я занят, а в воскресенье вы сможете со мной пообщаться. Устроимся, если погода позволит, где-нибудь на берегу озера и поговорим. Возможно, факультет Рейвенкло захочет пригласить меня в свою гостиную. Непринуждённое общение в различных форматах.

— На занятие могут прийти все, кто пожелает. Ваши гости тоже. Я гарантирую, что вам будет интересно, даже если в упомянутых вопросах вы чувствуете себя уверенно. Захватите с собой, чем и на чём записывать.

— По моим наблюдениям: в магловских школах те же самые проблемы, и решения у них такие же. Если вы до одиннадцати лет ходили в обычную школу, не стесняйтесь, приходите.

Не знаю, сколько студентов (студенток) повелось на моё мужское обаяние, скольким было просто интересно, сколько нуждались в помощи, и сколько были подкуплены угощением, но на занятие пришло около двухсот человек — больше половины Хогвартса. Иностранцы пришли все, с директорами. Я попросил всех устроиться на своих обычных местах за столами факультетов. Септима Вектор и Аврора Синистра сели за стол своего бывшего факультета — Рейвенкло. Игорь Каркаров и мадам Максим сели со своими студентами. А за столом Слизерина устроились лорд Малфой и лорд Гонт.

Профессорский стол был убран. На возвышение я поставил столик для себя и белую доску с маркерами. В магловских школах США такие доски как раз начали вытеснять обычные чёрные доски с мелом. Но вообще-то я собирался использовать иллюзии. В частности, всё, что писалось на доске, должно было появляться в увеличенном виде на стене зала.

Рита Скитер тоже пришла. С ней я договорился, что колдографировать можно будет только в перерывах; о том же я предупредил Колина Криви.

— Леди и джентльмены! Очень рад снова говорить с вами. Я вижу, что заинтересовал вас, и надеюсь не обмануть ваших ожиданий.

— Сейчас мне понадобится помощник. Настоящий мужчина, отважный, как гриффиндорец. Или просто гриффиндорец. Или студентка. Помощнику или помощнице предстоит подняться сюда, под диктовку написать формулу и ответить на простой вопрос. Вот, вижу гриффиндорца. Мистер? Де́ннис Криви, первый курс. Не так уж много вам приходилось считать здесь на первом курсе. Программа такая. Вы учились у маглов? Как я говорил вчера, в магловских школах трудности те же.

— Берите маркер, пишите… Не видели такой доски? Они изобретены ещё в шестидесятых, но входят в употребление только теперь. В США, по крайней мере. Готовы?

— Минус… скобка открывается… минус три минус пять… скобка закрывается.

Получилось: −(−3−5).

— Вопрос: это число отрицательное или положительное?

— Отрицательное!

— Почему?

— Потому что минус впереди!

— Спасибо, мистер Криви, можете сесть на место.

— Магловские математики и наши нумерологи подвержены одному греху. Они обозначают одинаковыми знаками разные вещи. В том, что написано на доске, три знака минус. И все они имеют разный смысл.

— Это называется «перегрузка знака операции». 29 Причина всех сложностей с отрицательными числами у школьников — знак минус перегружен!

— Идём в обратном направлении. Третий минус, между числами 3 и 5 — это знак операции. Обычное вычитание. Операция над двумя числами.

— Второй минус, перед тройкой — это составная часть числа. Отрицательного числа −3.

— Самый первый минус, перед скобкой — это знак операции. Она называется «изменение знака». Выполняется над одним числом. Если число положительное, и мы меняем знак, результат отрицательный. Если число отрицательное и мы меняем знак, результат положительный.

— Я покажу вам магловскую машинку для счёта, называемую «калькулятор», — на заднем плане появилась иллюзия простейшего калькулятора в два человеческих роста. — Видите, здесь две клавиши с минусами. Просто «−» — вы­чи­та­ние. А «/−/» — это изменение знака. На некоторых моделях эту клавишу помечают «+/−». Смотрите, я набираю: один… минус… два… равно… ответ −1, как и положено. Теперь нажимаю изменение знака и получаю просто 1. Опять изменяю знак — опять −1.

Набирала иллюзорная ручища, размерами соответствующая калькулятору.

— Решаем наш пример на калькуляторе. Сначала считаем то, что в скобках. На­би­раю 3, изменяю знак. Получили −3. Приходится так, отдельной третьей клавиши с ми­ну­сом специально для набора отрицательных чисел нет. Набираю −5=. Получаю −8. Это в скобках. Минус перед скобкой — изменение знака. Ответ 8. Положительный.

— Вы сказали «минус впереди». Думаю, теперь вы поняли: если минус впереди есть составная часть числа — да, оно отрицательное. Но если минус впереди есть операция «изменение знака», результат может быть и отрицательный, и положительный. И ноль, конечно. −(5−5) = 0.

— Вопросы есть?

— Ну почему нам это вот так просто и понятно не объяснили в школе?

— Потому что вашим учителям их учителя тоже не объясняли. А тем тоже не объясняли. Когда-то всё зазубривали, а понимания не требовалось. Так и повелось. Книгу для школьников, из которой я взял это объяснение, написал русский математик Виктор Уфнаровский в 1987 году. 30 В книге автор приводит слово в слово тот же диалог «потому что минус впереди» и говорит, что это реальные слова русского школь­ни­ка. Как видите, мучения русских школьников не уступают вашим!

— Ещё вопросы? Да, я знаю русский язык. И несколько других. Ещё вопросы? Проблемы с дробями — из-за перегрузки знака равенства. Ещё вопросы? Знаки операции пе­ре­гру­жа­ют, потому что их разные смыслы между собой гармонично согласуются. Вроде того, что 0−1=−1=−(+1). Слишком много разных знаков — тоже нехорошо. Ещё вопросы? Минус обозначает изменение знака, когда он стоит или перед скобкой, или перед буквой в начале формулы, в том числе формулы в скобках. Минус перед цифрой в такой же позиции — знак отрицательного числа. В остальных случаях это бинарная операция вычитания. Кстати, с плюсом та же история. Просто в роли операции сохранения знака или в роли знака числа плюс чаще всего не пишут. Ещё вопросы?

— Перерыв на кофе! Выпечка на столах. Напиток: легонько постучите по столу пальцем и негромко скажите «кофе, пожалуйста». Или «апельсиновый сок, по­жа­луй­ста». Какой хотите. Нет, мистер Уизли, пива не будет. И огневиски не будет.

— В центре русской столицы Москвы стоит старинная крепость Кремль. В Кремле туристам показывают, в числе прочих достопримечательностей, Царь-пушку и Царь-колокол.

Я показал иллюзию того и другого с фигурами туристов для масштаба.

— Однажды туристы спросили гида, сколько весят эти артефакты. Гид ответил: «Если бы русскому царю захотелось отлить 3 такие пушки и 2 таких колокола, ему понадобилась бы 521 тонна металла. А если бы царь велел отлить 2 пушки и 1 колокол, на них пошло бы 280 тонн». Теперь я спрашиваю вас: сколько весит пушка и сколько весит колокол? Тонна метрическая, которая 1000 килограммов, но это не важно. Ответ нужен в тоннах. 31

— Давайте наглядно изобразим, что нам известно.

Я поставил на площадку сзади себя иллюзию двух громадных весов. На одной чашке первых весов появились 3 пушки и 2 колокола, на второй чашке — куча гирь с надписью «1» на каждой. Над чашкой светилась надпись «521», от которой шла стрелка к гирям на чашке. Соответственно вторые весы на одной чашке имели 2 пушки и 1 колокол, на второй — 280 гирь.

— Теперь поставим на первые весы ещё столько же груза.

На первых весах оказались 6 пушек и 4 колокола, уравновешенные кучей из 1042 гирь.

— На вторые весы поставим втрое больше груза. Слева будут 6 пушек и 3 колокола, справа 840 гирь.

— А теперь снимем с первых весов 6 пушек и 3 колокола. Слева останется 1 колокол. Но справа надо снять гири! Сколько? Правильно, 840, согласно показаниям вторых весов. Имеем 1 колокол слева и 202 гири справа. Колокол весит 202 тонны.

— Теперь вспомним, что было на вторых весах в начале. Слева были 2 пушки и 1 колокол, справа 280 гирь.

Иллюзия поменялась.

— Вместо колокола поместим 202 гири.

— Наконец, снимем 202 гири слева и 202 гири справа. Равновесие не нарушится.

— Слева 2 пушки, справа 78 гирь. Сколько весит одна пушка? Вот именно, 39 тонн.

— Пока всё понятно? Тогда предположим, что иллюзии я показывать не умею, а хочу это рисовать на бумаге, — с потолка свесилась иллюзия длиннющей полосы бумаги со всеми картинками.

— Если я буду рисовать пушки и колокола, да и гири, со всеми деталями, сколько я провожусь? Давайте вместо пушки возьмём просто букву C, а вместо колокола B. 32 А чтобы не рисовать кучу гирь, буду рисовать кружок вместо кучи, а в кружке записывать, сколько там гирь. Согласны?

Рисунок преобразовался соответственно моим предложениям.

— По-моему, это так же понятно, как исходный рисунок. А рисовать проще. Хотите что-то сказать?

— Это понятнее исходного рисунка, потому что детали не отвлекают от сути дела.

— Благодарю вас, мисс…

— Лу́на Лавгуд, Слизерин, четвёртый курс. 33

— Очень верное соображение, мисс Лавгуд. Будем упрощать рисунок дальше. Зачем нам писать три буквы C и две буквы B? Давайте напишем 3×C и 2×B.

На иллюзии листа бумаги всё опять поменялось.

— Дальнейшие упрощения понятны? То, что лежит на одной чашке весов, соединяем знаком «+». Весы не рисуем вообще, а то, что они в равновесии, указываем знаком равенства.

— Наконец, вместо символических C и B пишем, по обычаю нумерологов, x и y. Так привычнее. В книгах они печатаются курсивом.

Я опять поменял иллюзию.

— К чему мы пришли? К уравнениям. Кто теперь скажет, что эти уравнения непонятны? — Я ещё раз изменил иллюзию. Теперь стена сзади меня была завешана лентами бумаги, начиная с исходной (с картинками), и кончая последней (с уравнениями).

— Исходя из рисунков, можно записать ход решения системы уравнений. Умножаем первое уравнение на 2, второе на 3, вычитаем второе из первого, сразу получаем x, подставляем во второе уравнение, вычисляем y.

Соответствующие записи добавились на ленте после уравнений и продублировались под рисунками.

— Это просто дело привычки. Если вы понимаете суть, то вы глядите на это, — я показал на полосу с уравнениями, — а видите те первоначальные картинки. И наоборот: глядите на картинки, а видите уравнения. А ещё лучше глядеть на текст задачи и сразу видеть уравнения. Надеюсь, вы поняли, что это не сложно. Мисс Лавгуд?

— Принято опускать знак умножения между числовым коэффициентом и буквой.

— Верно, запись становится ещё короче. Итак. Всё понятно и наглядно. Но где же подвох? Почему ученики не понимают уравнений? Подвох есть.

— Когда мы ставим предмет на весы, нас не интересует предмет как таковой. Нас интересует, сколько гирь надо, чтобы весы были в равновесии. Нас интересует вес предмета, то есть, число. На весах мы не имеем дело с предметами. Мы сравниваем числа. Когда я ставлю на весы пушку, я не собираюсь стрелять из неё. Пушка на весах изображает число — свой собственный вес. Ничто другое нас не интересует. Поэтому x в уравнении — это не пушка, а y — не колокол. Это числа. И та пушка на первом рисунке — не пушка, а число гирь, которые надо ставить вместо неё. Только мы это число ещё не знаем. Но делать с ним можно всё, что делают с числами: складывать, вычитать, умножать, делить. И ничего больше. Стрелять из икса нельзя.

— Вот в этом подвох. Студенты не понимают, что надо абстрагироваться, то есть, отвлечься от любых других свойств предмета, оставив только число. Вопросы? 34

— Точно всё понятно? Или вам так понравился перерыв на кофе, что вы решили не тратить время на вопросы? Хорошо, раз вопросов нет — перерыв!

— С подачи кого-то нетерпеливого я уже разгласил секрет дробей. Да, это были вы, мисс Лавгуд! Проблемы в понимании дробей происходят из перегруженности знака равенства.

— В конце разговора про знак минус я привёл пример: 0−1=−1=−(+1). Тут показаны три смысла знака «−». Напомню: из трёх присутствующих минусов первый — знак операции вычитания, второй — знак числа, часть записи отрицательного числа, третий — знак операции изменения знака. Оба знака равенства в цепочке обычные: с обеих сторон стоит один и тот же математический объект, в данном случае — целое число −1.

— А теперь — пример с перегрузкой равенства. В цепочке 2/3+4/3 = (2×3+4×3)/(3×3) = 18/9 = 2/1 = 2 четыре знака равенства, и все они имеют разный смысл.

— Первый из четырёх знаков равенства читается «есть по определению». Да, запись a/b+c/d = (a×d+c×b)/(b×d) есть определение сложения дробей. Просто вместо букв подставлены конкретные целые числа.

— Сама по себе дробь определяется как упорядоченная пара целых чисел, числителя и знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю и всегда положителен. Запись тоже специфическая. Упорядоченная пара обычно пишется в скобках: (a, b). Дробь пишут a/b, тем самым перегружая знак деления. Тоже причина для путаницы.

На доске я показал и второй способ записи дроби: числитель и знаменатель друг над другом, разделённые горизонтальной чертой.

— Второй знак равенства — обычный. Можно сказать, честное равенство. С обоих сторон знака стоят дроби. Они равны как упорядоченные пары: первый элемент, или числитель, одной равен числителю второй, и знаменатель одной равен знаменателю второй. 2×3+4×3 = 18, и 3×3 = 9. В этих равенствах с обеих сторон одни и те же целые числа. Соответственно (2×3+4×3)/(3×3) = 18/9 есть обыкновенное равенство упорядоченных пар.

— Третий знак равенства не может быть математическим равенством упорядоченных пар, потому что и числители, и знаменатели разные. Если это равенство, то какое-то кривое, связанное с сокращением дробей.

­— Попробуем разобраться, на каком основании пишут 18/9 = 2/1. Для целых чисел можно указать — и даже строго доказать, если не лень — дополнительный «признак равенства». Два целых числа равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю. Итак, возьмём две заведомо равные дроби, и посмотрим, какая у них разность. Мы считаем, что уже определили вычитание как действие, обратное сложению, и умеем вычитать дроби. Этот несложный кусок теории мы пропустим.